Анатолий Кубацкий родился в Москве в 1908 году. Его отец Лев Кубацкий родом из Варшавы, работал гардеробщиком в камерном театре, а мать была домохозяйкой. С самого детства Анатолий любил проводить время вместе с отцом в театре и уже в школе задумал стать артистом, несмотря на то, что родители считали, что это несерьезно бесперспективно.